Espace enseignant

Le mouvement d’un projectile

Un ballon frappé, un jet d’eau, une pierre lancée d’un pont : tous suivent la même loi. Réglez le lancer, puis comparez les trajectoires.

Réglages

Angle de tir (°)45Vitesse initiale (m/s)10Hauteur de départ (m)0Pesanteur

Tir actuel

Résultats

Durée du vol: 1,44 s
Portée: 10,2 m
Flèche (hauteur maximale): 2,55 m
Vitesse à l’impact: 10,0 m/s

Les équations

Le repère : origine au sol, à la verticale du point de lancement ; axe Ox horizontal, axe Oy vertical vers le haut.

Équations horaires

x(t) = v₀ cos α · t

y(t) = −½ g t² + v₀ sin α · t + h₀

x(t) = 7,07 t

y(t) = −4,90 t² + 7,07 t

Équation de la trajectoire (une parabole)

y = −g x² / (2 v₀² cos² α) + x tan α + h₀

y = −0,0980 x² + 1,00 x

Flèche

H = h₀ + v₀² sin² α / (2g)

H = 2,55 m

Durée du vol

t_v = [v₀ sin α + √(v₀² sin² α + 2 g h₀)] / g

t_v = 1,44 s

Portée

D = v₀ cos α · t_v

sans hauteur de départ, D = v₀² sin 2α / g

D = 10,2 m

Vitesse à l’impact

v = √(v₀² + 2 g h₀)

v = 10,0 m/s

Hypothèses

Le projectile est assimilé à un point matériel. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Les frottements de l’air sont négligés : seul le poids agit, donc l’accélération vaut g, verticale et vers le bas.

À essayer

Sans hauteur de départ, lancez à 30° puis à 60° avec la même vitesse. Que remarquez-vous ?
Voir l’explication
la portée vaut v₀² sin 2α / g, et sin 60° = sin 120°. Deux angles complémentaires donnent la même portée.
Toujours sans hauteur de départ, cherchez l’angle qui donne la plus grande portée.
Voir l’explication
45°, car sin 2α vaut au plus 1, quand 2α = 90°.
Faites le même lancer sur la Terre puis sur la Lune, sans hauteur de départ. Par combien la portée est-elle multipliée ?
Voir l’explication
par 9,8 / 1,6 ≈ 6,1. Sans hauteur de départ, la portée est inversement proportionnelle à g.