Espace enseignant
Le pendule de Newton
Écartez une bille et lâchez-la : une seule bille repart de l’autre côté. Écartez-en deux : deux billes repartent. Ce jouet de bureau illustre deux lois de conservation.
Réglages
1 : choc parfaitement élastique. En dessous de 1, une partie de l’énergie cinétique est perdue à chaque choc.
- Masse d’une bille : 50 g
- Longueur des fils : 20 cm
- g = 9,8 m/s²
Au moment du choc
- Vitesse juste avant le choc
- 0,725 m/s
- Vitesses juste après le choc
- Bille 50,725 m/s
- Quantité de mouvement totale
- Avant0,0362 kg·m/s
- Après0,0362 kg·m/s
- Énergie cinétique totale
- Avant0,0131 J
- Après0,0131 J
Les lois
- Vitesse au point bas, par conservation de l’énergie mécanique pendant la descente
v = √(2 g L (1 − cos θ0))
- Quantité de mouvement
p = m v. Elle est conservée à chaque choc : m v1 + m v2 = m v1′ + m v2′
- Énergie cinétique
Ec = ½ m v2. Elle n’est conservée que si le choc est parfaitement élastique.
- Coefficient de restitution
e = (v2′ − v1′) / (v1 − v2)
- Deux billes identiques, la seconde immobile
v1′ = (1 − e) v1 / 2 et v2′ = (1 + e) v1 / 2. Pour e = 1, les vitesses s’échangent : v1′ = 0 et v2′ = v1.
- Énergie cinétique perdue lors de ce choc
la fraction (1 − e2) / 2.
Hypothèses
Les billes sont identiques. Les fils sont inextensibles et de masse négligeable, et les frottements de l’air sont négligés. Chaque choc est instantané et ne concerne que deux billes voisines : les chocs se suivent de bille en bille. Un vrai pendule de Newton est plus subtil, car ses billes se touchent ; ce modèle simple en reproduit l’essentiel.
À essayer
Écartez deux billes. Pourquoi ne voit-on jamais une seule bille repartir, deux fois plus vite ?
Voir l’explication
une seule bille à 2v conserverait bien la quantité de mouvement (m · 2v = 2 m v), mais son énergie cinétique serait ½ m (2v)² = 2 m v², au lieu de 2 × ½ m v² = m v². Les deux lois ensemble imposent que deux billes repartent, à la vitesse v.
Réglez le coefficient de restitution sur 0,8 et lâchez une bille. Que deviennent la quantité de mouvement et l’énergie cinétique ?
Voir l’explication
la quantité de mouvement totale reste la même ; l’énergie cinétique diminue à chaque choc, et toutes les billes finissent par bouger un peu.
Passez l’angle de départ de 20° à 40°. La vitesse au point bas double-t-elle ?
Voir l’explication
presque. Comme 1 − cos θ₀ = 2 sin² (θ₀/2), on a v = 2 sin (θ₀/2) √(g L). Or sin 20° / sin 10° ≈ 1,97 : la vitesse est multipliée par 1,97. Pour de petits angles, elle est presque proportionnelle à l’angle.